Gödel e il Disegnatore

Partiamo da lontano, da un tizio vissuto 2500 anni fa chiamato Epimenide. Questo signore è famoso soprattutto per una frase che pare pronunciò. La frase è questa:
“Tutti i cretesi sono bugiardi”.
Cosa c’è di strano? Bene, Epimenide era di Creta.

A pensarci fa male il cervello. Se era di Creta, era un bugiardo. Ma allora la frase che lo etichetta come mentitore è falsa. Ma se è falsa, allora lui dice la verità…
Capite, non se ne esce. E’ il cosiddetto paradosso del mentitore, che nella sua forma più concisa suona così:
“Questa frase è falsa”.

Facciamo ora un salto di venticinque secoli, fino all’inizio del 1900. Molti matematici e filosofi di quel tempo erano convinti che la matematica potesse descrivere completamente la realtà. Partendo da poche regole date, chiamate assiomi, si sarebbero potuti ricavare tutti i teoremi possibili e veri. Questa proprietà, che sia possibile ottenere dagli assiomi tutti i possibili teoremi, è detta completezza; che tali teoremi non siano in contraddizione l’uno con l’altro è detta coerenza. Se A e non-A sono entrambi veri, allora la coerenza non c’è.

Così in quegli anni una serie di matematici lavorarono per definire gli assiomi della matematica. Uno di questi ha vissuto qui a Torino: si chiamava Peano, è stato lui a trovare il minimo insieme di assiomi necessari per fare una matematica che sia funzionale.

Altri due famosi matematici, Bertrand Russell di cui forse avete sentito parlare per le sue polemiche anticristiane, e l’altro di nome Whitehead, scrissero un’opera monumentale chiamata “Principia Mathematica”, pubblicata nel 1913, che mirava partendo dalla logica a definire tutti i principi che fondavano le operazioni matematiche possibili.
Un altro assai noto matematico, di nome Hilbert, propose nel 1900 un elenco di sfide che la scienza avrebbe dovuto affrontare e vincere: una di queste è proprio dimostrare che la matematica è completa e coerente. Ma perché? Cosa avrebbe significato? Che tutto sarebbe stato spiegabile matematicamente e, dato che il mondo fisico e anche il mondo del pensiero è governato dalla matematica, non sarebbe rimasto nessun mistero. Leggi e teoremi si sarebbero potuti derivare e dimostrare meccanicamente. La verità sarebbe stata solo questione di calcolo.

E pensavano veramente di farcela! Certo, c’erano alcune cose che, diciamo, rompevano le scatole. Una era la teoria degli insiemi, per cui si potevano generare dei paradossi. Russell e altri lavorarono a diverse tecniche per eliminarli, in parte riuscendoci.

Ed è qui che fa il suo ingresso Gödel. Dobbiamo fare un’osservazione fondamentale: i teoremi non sono matematica, parlano della matematica. Per questo capire se un teorema è vero o no è così complicato. Gödel ebbe un’idea geniale: numerare, per così dire, i simboli e le parole dei teoremi, in modo da trattarli come entità matematiche. E’ quella operazione che è conosciuta, in suo onore, come gödelizzazione. Usando questo sistema dimostrò, in maniera veramente mirabile, che nessuna matematica che sia abbastanza potente può essere contemporaneamente completa e coerente.

“Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili”

a cui seguiva un secondo teorema:

“Nessun sistema, che sia abbastanza espressivo da contenere l’aritmetica e coerente, può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.”

Il nucleo della dimostrazione di questi teoremi è proprio il paradosso di Epimenide. Lasciando da parte la dimostrazione completa ne cito, semplificando, solo l’ultima parte.
Un teorema che dica “Questo enunciato dell’aritmetica non ammette dimostrazione”, ovvero “Questo non è un teorema” è vero o è falso? Se quello che dice è vero, allora non è un teorema, ma la matematica non è completa perché le manca un teorema dimostrabile; se afferma il falso, questo è un teorema, ma se afferma il falso non può essere un teorema appartenente alla matematica! Insomma, spero mi abbiate capito. E ‘ un paradosso, è impossibile.

Ci sono teoremi che sono indecidibili. E non è un fatto casuale, o che può essere superato aggiungendo nuovi teoremi o assiomi: è connaturato alla maniera in cui è fatta la realtà.

E’ chiaro che questa dimostrazione colpì come un fulmine tutti i matematici che avevano pensato, come detto prima, di vivere in un mondo senza ombre, del tutto meccanico. La sfida di Hilbert era persa. I Principia Mathematica diminuirono di molto il loro fascino. Si scoprì che viviamo in un mondo indeterminato. In un mondo in cui certe verità sono impossibili da raggiungere. A meno che…

Guardate questa illustrazione: è una stampa di Escher, “Mani che si disegnano”.

Quale mano disegna l’altra? E’ indeterminato, una visualizzazione grafica del paradosso del mentitore e se vogliamo, del teorema di indeterminatezza.
Eppure, qualcuno le ha disegnate. Qualcuno che non è nel disegno: è al di fuori. Al Disegnatore non si applica il nostro Godel perché risiede in una realtà superiore, diversa.
Il paradosso della realtà si può risolvere, ma solo introducendo una X che è il vero Mistero. A cui noi uomini non possiamo arrivare. Quel Mistero, o se vogliamo quella Verità, che si è comunicata, una volta per tutte, 2000 anni fa.

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Informazioni su Berlicche

Ufficialmente, un diavolo che dà consigli ai giovani demonietti. Avrai letto anche tu "Le Lettere di Berlicche" di C.S. Lewis, vero? Attenzione, però: i diavoli CREDONO in Dio. E questo in particolare svolazza, un po' su un po' giù, ma complessivamente diretto verso l'alto, verso quel cielo di cui ha nostalgia.

Pubblicato il 6 marzo 2018 su meditabondazioni. Aggiungi ai preferiti il collegamento . 4 commenti.

  1. Come diceva il card. Biffi:
    non possediamo il senso dell’esistenza: quando Wittgenstein dice che “il significato dell’universo non sta nell’universo”, riesce a esprimere con poche parole una verità grandissima, affermando che o questo universo è assurdo, oppure il suo significato è su un altro piano. Ma tutto ciò vale anche per il singolo, anche per la mia esistenza: e dunque prorompe l’appello a qualcuno che mi possa salvare da questa assurdità. “

  2. Post super-lativo.

  3. Caro Berlicche berl ti sta‼️ ma se tu fai articoli di questo spessore ecco che i troll vengono da te e non altrove. Povera gente troll la cui scolarità spirituale era inferiore alla terza media, ma per il semplice fatto che riesce a urtare te e i tuoi lettori, ecco che il troll si illude di essere qualcuno e anziché ad andare a strappare i biglietti allo stadio di Napoli (autodefinendosi stewart dello stadio) arriva alla conclusione che la sua forza nel busto lo abilita a fare il presidente del consiglio e fra qualche anno, dopo aver trovato 120 miliardi di euro per i redditi di cittadinanza da elargire al popolo, anche il presidente della repubblica. Roba da sberliccarsi dalle risate …… Ma tu ahinoi questi troll te li vai a cercare‼️

    Comunque il tuo diamante di Godel applicato alla fede e’ meraviglioso e nel mio piccolo e nel mio modesto auditorio che e’ la millesima parte del tuo, anche io ho accostato Laplace e Taylor agli oggetti della fede e sembra che la mia piccola cerchia mi abbia capito. Buona Quaresima. Ciao

    Caramellina apologetica

    In matematica una 😖 equazione difficilissima viene affidata alle 😍 “Trasformate di Laplace” che porta in un mondo risolubile e poi le sue soluzioni riconvertite🔀nell’assetto originale. Anche Gesù🍞sostituisce oggetti concreti con simboli: il pane e il vino🍷sostituiscono il corpo e il sangue, pur restando👀visibilmente pane e vino, e ciò costituisce una🔪rottura con le🔥religioni precedenti.
    Non vi sono più agnelli sacrificali da sgozzare🐐e l’unica vittima reale,➕ Gesù, assume su sé stessa ogni ➕ compito di espiazione. Dopo la Sua crocifissione➕celebriamo soltanto vittime simboliche: il pane e il vino.

  4. Perche’ Mistero, incoerente e sempre vivo trasformi la Gioia in pianto? Trasportami nella Tua chiara Luce , e la mia Speranza
    sarà trasformata nella Verità della Tua Luce.

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